一些數學，
還有一些生活。

好欸，來講點漂亮的數學！雖然這有可能是這輩子(?)最後一篇完全沒用AI(證明，寫作，畫圖，proofread)的paper了。讓我們回到那個AI還不知道去離家裡50公尺的洗車場洗車需要開車去的時代！

我們就直接進入數學吧！Paper連結：https://arxiv.org/abs/2610.02165

問題： 假設有個圖$G$有$m$條邊，而且每條邊都被塗了$r$種顏色中的其中一種，那我最多有幾個彩虹三角形(三角形使得三邊顏色都不相同)？

AI來得有點突然，進步的有點快。藉著剛好有篇新paper放上arXiv的這個機會，我想來分享點數學跟我對AI的看法。

https://arxiv.org/abs/2609.38115

這篇paper可以算得上是我被AI教會怎麼證明主要定理之後整理發出來的第一篇(如果前面oddtown構造不算的話，畢竟那是發出來後補上去的)。這篇會著重在上界，因為下界部分主要是合作者搞的，而且算是AI起飛前的產物。

好久沒發blog了，先來講點數學。這次的問題如下：

Affine subspace statistics問題： 給定$n,d,s$，考慮一個集合$A\subseteq\mathbb{F}_2^n$，請問最多有多少比例的$d$-flats ($d$維affine subspaces) 恰好包含$A$中的$s$個點？

老樣子，先簡單介紹一下數學問題，再講點這個project的故事，最後再來點深入的數學吧！

組合中的線性代數方法裡，最入門的應用大概就是Eventown跟Oddtown問題了，先來個問題敘述：

Oddtown問題： 有個奇怪的小鎮裡面有$n$個人跟一堆俱樂部，其中俱樂部裡可以有重複的成員。假設每個俱樂部都有奇數個人，且兩兩的交集都是偶數個人，請問最多有幾個俱樂部？

終於迎來了postdoc的第一個暑假，秉持著暑假還是要回台灣耍廢的精神，於是參加了六月底在高雄的線性代數大會，然後八月初去維也納RS&A，再跟眼皮去義大利玩。

這篇日記(?)就著重在歐洲部分，所以線性代數大會的部分就簡單帶過吧！反正就是去年我跟眼皮辦summer school的時候有人跟我們說有這個會，然後我聽說姜子麟也會去，就想說去了不虧，順便試著讓MIT報銷我的機票XD。然後眼皮就說他要去耍現充不去了，可惡OAO

先來講講這篇paper的motivation(X)先來講講副標題到底是三小(O)

遙想當年歐拉為了研究七橋問題，漸漸地發展出了圖論。隨著人類來到了工業時代(?)，而圖論也與關係到了城鎮之間的連接(?)。想像一下你有$n$個城市，兩兩之間有一條道路，但這些道路上有可能出現怪獸，於是城市市長們聚在一起想要解決這個問題。

標題黨一下XD，最近兩個週末搭了兩趟波士頓來回紐約的Amtrak，四段每一段大概四五個小時，四捨五入一下就是Amtrak上的一天。那我們就從第一段行程說起吧！

在SLmath的時候眼皮就提到Princeton有個Matija主辦關於expander的會，我想說我對expander興趣普通，但看看大家都在用這東西幹麻好像也不錯，加上Amtrak去Princeton也不貴，而且眼皮家可以睡，於是就決定出發了。

這篇理論上要是去SLmath開會的心得(?)。由於某天問Yufei某些事情的時候他提到了他辦的這個workshop，加上我發現好像大家都要參加，我就決定參加了。然後眼皮剛好問說PK在LA要不要開完會後一起去LA完，所以行程基本上就是舊金山(Berkeley)開會完去LA。因為我是個很懶的研究住宿跟行程之類的人，基本上我都在抄作業XD。先問Dingding住哪個旅館，然後抄作業，這樣就有人可以一起行動了(?)。然後LA的旅館交給眼皮carry XD

這次去IBS收穫滿滿，聽Huy證了一遍Kahn–Kalai，跟子超做了個幾何上的Zarankiewicz，還跟被徐子翔翔哥找了一起做extremal set的問題。只能說，extremal set好好玩XD

Paper以一個很快的速度放上了arXiv(至少比我以前所有paper都快XD)，其他三個人感覺都是超hard-working的人OAO，只有我擅長拖延，我道歉。

跟眼皮HHH Yu的paper生出來了XD。連結：https://arxiv.org/abs/2412.08075。這次先講故事好了。

去年visit IBS的時候，身邊一群人看起來都很會各種extremal graph尤其是Turán相關的問題跟技巧，但我只會polynomial method跟entropy。我就跟眼皮開玩笑說感覺我跟大家討論就像是在一間中餐館炒菜，有人端出一盤牛肉，有人端出一顆高麗菜，有人端出一碗蝦子，問說能不能放在一起做成一道菜。

有鑑於我的blog目標應該是推廣有趣的數學(in particular, extremal combinatorics)，我也該發點我不會做但別人會做的數學XD。由於建中/競賽/台大學弟Saintan最近在PhD job market上浮浮沉沉(?)並努力把它跟Shagnik最近的結果趕出來放上arXiv，就來介紹一下他們在幹麻吧！

我們先從經典的問題開始。問題很好敘述，所以就先上問題吧。

問題： 給你$[n]=\{1,\dots, n\}$的子集中的$m$個子集，假設蒐集起來是$\mathcal{F}=\{A_1,\dots, A_m\}$，使得對於任何$A,B\in \mathcal{F}$，$A\cup B$也落在$\mathcal{F}$裡。請問是否存在一個元素$i\in [n]$出現在至少$0.5m$個$\mathcal{F}$中的集合裡？

沒想到吧，這個blog第一篇關於ㄠˋㄕㄨˋ的貼文是這個奧術。

這三天一口氣把第一第二季全部看完，雖然之前跟郭柏成一起看過一次第一季，但我完全沒印象所以就重看了XD。

整體評價呢hmm……只能說，畫面、配樂、台詞、背景設定都很頂，但劇情我是完全不理解他。整部片基本上劇情脈絡都是：有個目標，大家試著解決他，事情開始好轉，杰西在雷(?)，更大的悲劇發生。

讓我們從以下這個相當基本的問題開始：

問題： 如果一張圖有$m$條邊，它最多有幾個三角形？

聰明的讀者肯定知道，如果所有邊團起來，那三角形應該要最多，所以我們有以下的定理：

定理： (Lovasz版本的Kruskal–Katona)如果你有$\binom{u}{3}$個三角形，那你至少有$\binom{u}{2}$條邊。

原本理論上這篇要來講講去Emory給talk心得，但這裡水族館好棒XD，所以先來講講水族館吧。開始之前，先來一首很適合水族館的BGM(感覺某人會很生氣地看著我XD)

觀看影片（YouTube）

這裡水族館有好多鯊魚OAO(鯨鯊算是一種虎紋鯊魚嗎(#))，禮拜四五預計都在做數學，禮拜六下午五點多的飛機，於是我去之前就在想我禮拜六早上是不是該去哪裡逛逛。看著google map感覺這裡水族館很有料，而且我意外的發現我其實很喜歡逛水族館XD。

暑假的時候收到Zoe跟Zilin邀請，去UC Riverside參加AMS Western Sectional Meeting。收到的時候我這學期要教什麼課還沒確定，所以我拖著沒回，直到deadline快到了我才在考慮這件事。由於會議是周六周日兩天，而我禮拜一中午要recitation，我回城一定是紅眼航班，所以我很猶豫，然而，猜拳猜輸眼皮，只好去了(???)

新paper上arXiv了https://arxiv.org/abs/2410.06498，這整篇修了一個月，從硬生生從一篇joints paper寫成一篇圖論paper(?)。藉此機會來科普一下我跟眼皮H.-H. H. Yu都在做什麼好了XD

故事要從$n$條直線說起。大家都知道，二維空間中$n$條直線最多交$\binom{n}{2}$個點。那三維空間中的三線交點呢？答案還是$O(n^2)$，因為你可以考慮一個方格跟他的其中一個方向的對角線們。

Update：我們的結果在https://arxiv.org/abs/2002.10646就被人證明過了QQ

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最近跟子超和吴茁的paper終於上arXiv了，這是我在IBS visit的時候的產物XD，János Pach丟給子超後我們三個討論的，最後靠著茁哥carry後做出來XD

講結果之前先來簡介一下背景知識。Erdős跟Szekeres證明了平面上給你足夠多in general position (平面上的話任三點不共線)的點，那總是可以找到一個凸的$k$邊形。所以下個問題就是，那我能不能找到空的凸$k$邊形，稱為convex $k$-hole (凸洞(???))。

最近跟眼皮把彩虹三角形的純entropy做法的note放到arXiv上了，於是想說來介紹一下我們這部分在幹麻。

我們先考慮以下的看起來是數奧的問題：給你一個簡單圖$G$，假設他有$R$條紅邊、$G$條綠邊、$B$條藍邊，請問最多能有幾個彩虹三角形(三條邊顏色都不同的三角形)。

要離開匹茲堡了，感覺最近好常聽到別人問匹茲堡如何，我都一臉微妙。但無論如何都過完了，這篇只是想曬點畢業照，但又覺得該打點什麼，來推薦一些餐廳好了XD

從中式合菜開始，最推的應該是府河人家(Sichuan Gourmet)跟Hunan Bar，再來可以吃的有cafe33、悅百味、蜀湘園，Bao的話很像調理包，但還行。

[想到什麼打什麼好了]

不知不覺五年就過去了。在大學畢業後先在中研院當半年的研究助理，順便申請跟等當兵。

[申請PhD]

我那個時候真的是亂弄一通，回頭看我research statement根本亂寫一通，現在想想應該要試著更focus在我讀過什麼，做過什麼問題，但說實話那個時候的我根本沒什麼這方向的東西可以寫的。托福跟GRE就亂考一通，成績勉強可以看。我在申請的時候很想做enumerative combinatorics，在大學的時候也修了蠻多教官的課，但結果我來到被random graph跟extremal combinatorics包圍的CMU。

由於眼皮申請Jane Street獎學金榮獲AG(?)，我有機會蹭到紐約之旅去參加他們主辦的Graduate Research Fellowship Workshop。簡單來說呢，做的數學比想像中少但學到的東西比想像中多。