AI來得有點突然，進步的有點快。藉著剛好有篇新paper放上arXiv的這個機會，我想來分享點數學跟我對AI的看法。

https://arxiv.org/abs/2609.38115

這篇paper可以算得上是我被AI教會怎麼證明主要定理之後整理發出來的第一篇(如果前面oddtown構造不算的話，畢竟那是發出來後補上去的)。這篇會著重在上界，因為下界部分主要是合作者搞的，而且算是AI起飛前的產物。

我暑假的時候，排了個先去San Diego開會，再去Yonsei跟ibs訪問，然後去香港開會，再回台灣參加組合新苗的行程。然後子超跟我說黄欣祺也要去香港那個會，於是我們就在ibs認識了(被子超帶著吃吃喝喝XD)。然後欣祺跟我說了這個Brown–Erdős–Sós的問題。我們在香港開會的時候，剛好GPT 5.6出來，而感謝Boris的贊助(?)，我有了GPT pro可以用，於是我就跑了這個問題。然後GPT就說上界可以證，但給了個劇醜無比的證明(後面談AI的時候給大家看看)。於是我就努力的理解他在說啥，然後我們跟刘鸿老師就一起把paper寫出來了XD

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為了避免大家不學數學(?)，我從數學部分開始講：

首先，在極值組合裡，給定頂點數問說forbid某些圖的話最多有多少條邊是一類很常見的問題，像是最經典的Mantel跟Turán定理，分別問的是forbid三角形跟。而今天的問題要考慮的是在-超圖中forbid 條邊只用了至多個頂點的任何子圖。因此，我們說一個子圖是一個如果他有條邊跟至多個頂點。

在上個世紀七十年初(這樣講好像很帥(?))，Brown–Erdős–Sós證明了個頂點的超圖中，如果不包含任何的話，那邊數至多是的次方(up to a constant)。而且存在構造是的次方(up to a constant)。所以如果這個分數是個整數的話，那asymptotics就知道了。假設這個整數是，變數代換一下等價於問說圖裡沒有。

那，我們做了什麼呢？既然知道了asymptotics，那不免俗(?)的就會問他lead coefficient是多少，於是可以定義是這個係數(實際上不一定存在，但我們證了一致的上下界，所以是存在的)。於是我們的定理如下：

定理：如果是奇數，則。如果是偶數且，則。

為了方便，我們都用舉例，所以我們要forbid 。首先，一條邊是一個嘛，然後每次多加一條，如果都是跟前面的component交個點的話，那就會長成這樣長出forbid的東西嘛。所以應該要試著問說能不能長出這些component。那，有個奇怪的情況是，邊數比少但比上面列的緊，像是如果找到一塊怎麼辦？於是我們想要先清掉這些人，這樣比較好控制怎麼長。

所以想像一下如果我有兩個共用個點，而且每個裡我都還能找到一個也包含這個，那我拿一個跟一個拼起來，會是一個就死去了嘛。所以我可以把所有包含的都砍一條邊了，然後對 double counting可以知道我只砍了條邊。其他parameter也類似。

重點是，砍完之後我們不只forbid了，我們還forbid了某些小形狀，這在下一步會很好用。

所以用上面的想法，我們可以考慮這個超圖的-connected components，也就是如果有條邊跟另一條邊交在至少兩個點，我們就把它放進同一塊。由於我們上面那個預處理的刪除，實際上得要交在剛好兩個點。那我們知道每一塊不能有條邊嘛。這時候我們可以數說每一塊包含多少-shadow，也就是說我把每條邊裡面任兩個頂點形成的集合蒐集起來，問說總共有幾個。可以想像這個component是從一條邊開始，每次加一條邊近來，然後有個舊的點跟個新的點，所以會多加兩個shadow。於是一個條邊的component會有個shadow。由於shadow都不重複(不然component就會合起來)，所以。加上每塊至多條邊這件事，這可以得到一個不緊的估計。

至於哪裡不緊呢？原因就是我們少數了一些根本不在shadow裡的人。那要怎麼fix這件事呢？我們考慮好好的在每個component的non-shadow裡面找一些人，像是如果一個component裡有兩條邊，那就不在這個component的shadow裡嘛(但可能在別人的裡面，牛頭人狂喜)。所以我們考慮把某些這種拿出來，考慮一個輔助二部圖如下：其中一邊每個點代表一個component，另一邊每個點代表一個這種 pair。中間連邊代表是如上所說被這個component選中的，或是是這個component的shadow。

關鍵步驟是證明說這個輔助圖裡面沒有圈，而這件事會告訴我們實際上還是有蠻多non-shadow我們沒有好好數，就可以得到緊的上界。那為什麼沒有圈呢？假設有的話，那你會有一堆component每個人的都要放到下一個人裡面(?)形成人形蜈蚣(???)。重點是，我可以加完第一個component的邊之後，再加入第二個component的邊，讓我還是的順序加上去。那如果這個人形蜈蚣很小隻(?)，總共的邊數太少的話，由於他環起來了，所以全部就會形成像是的這種更緊的形狀。

上面proof sketch有點簡略，因為實際上有蠻多小細節的。那你知道更簡略的是什麼嗎？是下面我要說的偶數的證明。簡單來說，是偶數的時候，我們希望能賺更多。而要證明的是，假設，那每個形如$abxy,abzw$的邊的pair，我們都得找到兩個類似上面說的那種pair的東西。假設沒被別條邊蓋住，我們就選他當其中一個，不然我們就把蓋住的邊加入跟原本這兩條邊形成一塊，類似這樣直到找到兩個pair。然後我們可以類似(但超級複雜)的證明這樣長出來的每一塊跟他們的兩個pair形成的輔助二部圖也沒有圈，然後算兩次。

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接下來來說說AI跟我分別幹了啥吧。基本上是這樣的，我問了GPT奇數的case，被他秒掉了。問了偶數的case，GPT花了好幾輪(沒有太多有意思的human input)後做出來了。但GPT給我的證明長這樣：

反正我看完反應是

反正整篇除了結果外，我只讀懂了他要驗證某個輔助圖上Hall定理的條件，那他怎麼驗呢，證明如果會有反例嘛。那我就看了看他左邊物件是啥，右邊物件是啥，然後看起來像是證明了輔助圖沒有圈。咱也不知道，但咱敢問(?)，於是我就跟GPT一頓來回之後，我就懂了證明了。

但，懂了證明這件事其實很複雜，最簡單的是你可以說出大方向，再來是你可以說出具體細節，再來是你知道寫下來的時候有哪些細節可以取捨。反正我花了大半個八月在從最簡單的理解到把它好好寫下來。

整件事其實相比於以前的workflow蠻不一樣的，我感覺我就暑假繞了一圈環太平洋之旅(?)後整個世界就不一樣了。反正現在數學界對這件事有很多看法，有分成討厭AI公司派，討厭AI派，數學家傻逼派，exposition傳不出去派(?)。但我覺得其實整個問題就分成兩個層面：一個是數學界還會不會存在，一個是數學界會長怎樣。我其實完全不擔心後者，反正只要這領域存在，人們會自己找到出路。所以先來講講前者吧。

基本上來說，大家最擔心的可能是AI會佔據或消滅數學家可以取得的資源，例如funding以及position，還有招學生之類的。我沒辦法說這不可能發生或是這不會影響太大，的確是有可能數學界就這麼被消滅。但on the other hand，做決策的人真的會想這麼幹嗎？

在AI前我就覺得數學家的研究其實跟藝術家差不多，做出來的東西只有小圈子欣賞，有實用價值的其實不多。數學(尤其組合)跟藝術不同的就是你可以證明出別人不會的結果的競爭(但我不太care這點，從我在做的問題就能看出來(?)，我覺得數學更像是某種藝術學科(?))。但總體來說我覺得純數的數學研究基本上對這世界本來就沒啥屁用。

所以其實有可能這世界根本不在乎數學家到底幹得好不好，其實這世界需要一群數學家只是為了把他們供著確定這個古老的學科還會存在，並且有一群人可以去教工程師微積分跟線性代數。那教學會不會被AI取代呢？反正我是覺得疫情光是把教學搬到zoom上這世界就適應不良了，AI要取代教學肯定還久。它可以是個很好的教學工具，但你如果目標是十年後把所有數學家的教學都取代掉，那我只能說不太可能。

以上可能有些過於理想，但我們先假設數學界會總是存在，那現在的第二個問題是，數學界或是說數學研究到底會長怎樣？其實這件事搞過競賽的人肯定不陌生(?)，你做一題C8，罵了十句C8還做不出來(X)，那你要不要看解答？反正吃毒藥(i.e.看解答)派跟不吃毒藥派早就是個千古難題了。簡單來說就是這世界上多了個可以解答你問題的機器，你可以選擇不用嘛。而這其實是個非常好的時機點重新思考數學家對於credit的觀點是否合理。其實在AI前數學就有很多部分都需要花時間，不只是解決問題，也不是所有人都擅長解決問題。但總是有很多事可以做嘛，像是簡化證明，寫survey，找不同的證明，把會做不同事情的人拉在一起搞問題(我沒說以上這些事情都該得到同等的credit，但總有這些人該有的位置)。而現在發生的就只是把最多credit的東西砍掉，讓大家重新思考該何去何從。反正我相信數學界總是會找到解法的，as far as數學家這個職業還在。

哎，隨便murmur一下，像我之前說過的

「為什麼會變成這樣呢……第一次有了很會做題的工具。有了我在乎問題的答案。兩件快樂事情重合在一起。而這兩份快樂，又給我帶來更多的快樂。得到的，本該是像夢境一般幸福的時間……但是，為什麼，會變成這樣呢……」