讓我們從以下這個相當基本的問題開始：

問題：如果一張圖有條邊，它最多有幾個三角形？

聰明的讀者肯定知道，如果所有邊團起來，那三角形應該要最多，所以我們有以下的定理：

定理：(Lovasz版本的Kruskal–Katona)如果你有個三角形，那你至少有條邊。

(這個定理也在joints出現，有興趣的讀者請見：joints)

而實際上我們也能用Shannon entropy證明這件事，關於entropy的基本定義與一點點性質可以參考：彩虹三角形、note。那我們開始吧！

首先，我們均勻隨機的選一個三角形，並均勻隨機的把頂點排序，得到三個隨機的頂點，令。跟entropy不熟的同學直覺上可以先想成說的是你有"多少"可能的第一個頂點，說的是你知道第一個頂點後平均有"多少"可能的第二個頂點，說的是你知道前兩個頂點後平均有"多少"可能的第三個頂點。(這裡的"多少"並不是單純的算個數，而是得看隨機變數的"資訊含量")

而這樣做的好處是我們可以證明：

1. 有序三角形個數
2. 有序邊數
3. 

第一條用前面的直覺不難理解，就是說你三格分別有幾種選法乘起來就會得到總數，而實際上它就只是entropy的uniform bound。第二條同理，因為一定會形成一條有序的邊，但它不一定是均勻隨機的，所以這裡我們只有上界。第三條的直覺也不難，說的就是假設你知道第一個有幾種選擇，第二個不能跟第一個重複，所以會少一種選擇，也就是，後半段同理。實際的證明需要取random variable 的mixture，有興趣的可以自己試試看，或是參考我跟眼皮的paper：https://arxiv.org/abs/2307.15379。

那有了這些資訊，我們就可以證明(這是一題簡單的競賽不等式題，自己證XD)。加上第二點定理就得證了。

而在最近放上arXiv的這篇paper(https://arxiv.org/abs/2410.04744)中(故事等等講XD)，我學長子超就問說：那我如果一樣知道有那麼多的三角形，我能不能知道至少是多少呢？(注意到換成的話這個和就是，也就變回上面的問題了)

而我們發現如果用entropy這件事也不難做到，用上面的資訊加上下面這個額外的觀察即可：

4. 

綜合以上資訊，我們就可以證明(這是一題難一點點的競賽不等式題XD)。加上第四點我們就可以知道。

而這個結論也是緊的：注意到一個個頂點的完全圖中有個三角形，而此時。

然而，當換成任何超過的數字的話，就是另一個故事了(另一個競賽不等式(#))。

細心的讀者可能會發現，上面提到的這篇跟子超的paper其實是第二版，然後如果點進arXiv上的第一版會發現我不在作者list上XD。實際上呢，這個問題是子超帶著兩個大學生做的研究，然後他們第一版放上arXiv當天晚上，我就看著他們paper想說，這個問題好有趣喔，但我看著證明用到了相當多fancy的不等式技巧，我就想說先自己想想看。知道我研究style的人都知道，我很不願意去讀/理解各種技術含量很高的證明，我喜歡簡短的概念。於是我就從半夜十二點看到這篇paper開始想了好一段時間，就發現我們可以用上面的觀察4.加上一些酷酷的不等式證出來。於是我把證明傳給子超然後子超就提議把我加進去然後把證明改寫，就得到現在這個產物XD。

整件事唯一的受害人大概就是眼皮的好多個citation被我弄成self-citation，因為這篇cite了好幾個我跟眼皮的paper OAO。